Proposta di una sua formulazione “intuitiva”, con alcune critiche sul preteso valore filosofico delle cosiddette geometrie non-euclidee.

1 – Premessa

La decisione di andare in pensione alla fine del 2005 (per disperazione) ha avuto la conseguenza di lasciare incompiuti (per assenza totale di stimoli, non che prima per la verità ne ricevessi molti dalla frequentazione dell’ambiente universitario) tre progetti matematici ai quali pure tenevo parecchio.

Adesso che intravvedo la fine del cammino mi sento in dovere di fare il punto della situazione, e di cercare di porre rimedio per quanto possibile. Il Breve profilo storico della matematica è rimasto a metà, ma la seconda parte è già stata scritta al PC e richiederebbe solo un’attenta revisione, non escludo quindi che possa essere completato prima o poi.

Agli Elementi di matematica manca invece molto (per esempio quasi tutta la parte geometrica), e ormai temo rimarranno così: mi resta almeno la soddisfazione di aver indicato una “strada” (anche se oggi temo non importi a nessuno, o quasi). La Storia e critica delle cosiddette geometrie non euclidee – Ovvero, molto rumore per nulla, o per poco? era stata quasi completata, ma è rimasta purtroppo nello stato di manoscritto.

Il lavoro di trasferire il tutto al PC supera di gran lunga le mie attuali risorse psico-fisiche, sicché ho deciso di redigere in sostituzione la presente breve nota riassuntiva, nella speranza che possa essere utile a qualcuno. Umberto Bartocci, Perugia, febbraio 2010

 2 – Introduzione storica

Avevo deciso di scrivere il libro dianzi citato perché irritato dalle “sciocchezze” che continuamente sentivo o leggevo sull’argomento (pare che ormai si faccia a gara a ripetere a pappagallo opinioni alle quali non si è pervenuti con la propria testa). Una piccola traccia del progetto rimane in rete, qui mi limiterò a sintetizzarne alcuni punti essenziali. E’ chiaro innanzi tutto come dovrebbe essere impostato un libro del genere.

Abbandonando la tentazione di “cominciare … dalla fine”, come avevo al tempo pensato (perché un eventuale lettore che iniziasse a scorrere le prime pagine del libro e si imbattesse subito in qualche giudizio diverso dal solito, potrebbe abbandonare la lettura), si deve iniziare presentando ovviamente il V postulato di Euclide nella sua forma originale, e cominciare a discuterne il significato, evidenziando le difficoltà concettuali che hanno origine nella particolare enunciazione scelta dal grande geometra alessandrino.

A seguire un po’ di storia su come è stato accolto il postulato, presso i Greci e presso gli Arabi, pervenendo alla conclusione che non c’è stato poi quel gran fervere di discussioni su di esso di cui sovente si parla a sproposito. Volendo riassumere, si può dire che Posidonio, un paio di secoli dopo Euclide, propose di descrivere le proprietà delle parallele attraverso caratterizzazioni di natura metrica e che – sorvolando su un’incomprensibile argomentazione di Tolomeo che venne comunque solo un altro paio di secoli dopo – Proclo tentò di perfezionare l’impostazione di Posidonio (stavolta a un intervallo di circa trecento anni da Tolomeo), senza peraltro cogliere alcuno dei punti basilari che avrebbero potuto-dovuto essere individuati.

Sarebbe davvero pochissimo, se non avessimo la successiva notizia (contenuta in un commento arabo del IX secolo di tale Al-Nirizi, tradotto da Gerardo da Cremona nel XII secolo) dell’unica sostituzione corretta e completa del V postulato con un altro, cioè con un postulato autenticamente equivalente all’originale euclideo, da parte di un certo misterioso Aganis (di cui non si hanno altre notizie; c’è chi ha pensato potesse trattarsi di Gemino da Rodi, I secolo AC, ma forse è un contemporaneo di Simplicio, commentatore di Aristotele vissuto nel VI secolo DC), e dell’unica vera dimostrazione di equivalenza pervenutaci, riportata in un commento di Nasir-Eddin (XIII secolo) che si riferisce ancora al menzionato Aganis.

Ciò nonostante Lobachevsky, uno dei fondatori della geometria non-euclidea, scrive (nei Nuovi fondamenti della geometria, 1835): «L’infruttuosità dei tentativi, fatti dal tempo di Euclide, per lo spazio di due millenni», ma tre soli tentativi (riassumendo, Posidonio, Proclo, Aganis) nell’arco di 1860 anni non ci sembrano giustificare una siffatta affermazione. Ripetiamo, tranne forse il goffo tentativo di Tolomeo di cui ci riferisce Proclo, nessuno (o quasi) nell’antichità sembra aver preteso di offrire una dimostrazione ex nihilo del postulato delle parallele, soltanto di proporne formulazioni più accettabili, e soprattutto non sembra esserci stata nessuna preoccupazione filosofica nei suoi confronti.

Esclusivamente un giustificato interesse (e neppure quale avrebbe dovuto essere) verso la presentazione della geometria offerta da Euclide (una presentazione che rimane comunque sempre “intuitiva” nei suoi fondamenti, e mai formale o formalistica, come oggi qualcuno ha cercato di dire, presentandolo quasi come un Hilbert ante litteram), che appariva in effetti in qualche punto poco adeguata.   Come dire, taluni approfondimenti ispirati a un po’ di sacrosanta insoddisfazione verso la trattazione euclidea della geometria, che non sfociò mai comunque in tentativi di revisione radicale.   Si prosegue con la ripresa della relativa discussione al momento della traduzione e della diffusione del commento di Proclo nel Rinascimento (esso fu ristampato per la prima volta a Basilea nel 1533, nella versione originale greca, e a Padova nel 1560 in una versione latina): sarà infatti tale opera a influenzare le successive edizioni degli Elementi di Euclide, che conterranno comunemente dei commenti relativi al V postulato.

Per contro, «tanto le prime versioni degli Elementi fatte nel XII e XIII secolo sui testi arabi, quanto le successive compilate sui testi greci alla fine del XV e nella prima metà del XVI non portano in generale alcuna annotazione critica al V postulato» (Roberto Bonola, La geometria non-euclidea – Esposizione storico-critica del suo sviluppo , Zanichelli, Bologna, 1906; Reprint 1975, p. 11).

L’interesse verso la questione delle parallele aumenterà poi progressivamente con le “manualizzazioni” che si proporranno di presentare la geometria nel modo più semplice possibile a un pubblico crescente di studenti, a partire ovviamente dai suoi “fondamenti”, e questo cammino conduce, come si sa, alla “scoperta” delle geometrie non euclidee, avvenuta intorno al 1830 per opera di matematici alquanto oscuri, ma entrambi collegati a Gauss. Qui cominciano i problemi, perché quello che avrebbe potuto essere un interessante capitolo della Geometria Differenziale, e anche un istruttivo argomento nell’ambito dei fondamenti della geometria (a dimostrare la necessità logica dell’introduzione di un siffatto postulato nella descrizione dello spazio ordinario), viene tramutato da una “propaganda” spesso priva di raziocinio, rivolta a persone che si vuole rimangano a loro volta prive di raziocinio, in una sorta di “rivoluzione copernicana” della geometria (cfr. per esempio Carl B. Boyer, Storia della matematica , tr. it., I.S.E.D.I., Milano, 1976, p. 621), un evento di rilevanza filosofica fondamentale, etc. etc., d’onde l’obbligo per lo scrivente di trattare la questione sotto un punto di vista completamente diverso.

Ripetiamolo ad evitare equivoci.

Riteniamo che la scoperta delle geometrie non-euclidee abbia costituito un palese avanzamento della conoscenza matematica, e possiamo anche riconoscere che diversi suoi progressi siano stati occasionati dalle ricerche sul postulato delle parallele, le quali hanno quindi finito con il produrre un risultato indubbiamente positivo, a saperlo prendere per il giusto verso. Sarebbe comunque addentrarsi nello scivoloso terreno dei contro fattuali storici, il voler discutere se la Geometria Differenziale avrebbe conosciuto lo stesso vertiginoso sviluppo: sta per certo che le Disquisitiones generales circa superficies curvas di Gauss, contenenti il celebre theorema egregium sull’invarianza per isometrie della curvatura di una superficie, vengono pubblicate nel 1827 senza avere nulla a che fare con il problema qui oggetto d’attenzione (e tanto per dire, il nostro corso di Geometria II è stato per anni dedicato allo studio delle proprietà differenziali delle curve e delle superficie dello spazio ordinario ). Negativa è stata invece l’impostazione con cui tale scoperta è stata presentata, nella volontà di tramutare l’incontro con oggetti matematici nuovi e inaspettati nel crollo di filosofie tuttora adeguatissime.

L’osservazione (sintetizzabile in: molto rumore per nulla, o quasi) potrebbe ripetersi tale e quale nel caso di un’altra propaganda dello stesso genere, quella relativa ai famosi teoremi di Gödel, che ha ispirato saggi intitolati addirittura Matematica: la perdita della certezza (Morris Kline, trad. it., Mondadori, 1985). Si veda per esempio il nostro “Una breve presentazione (critica) del teorema di incompletezza di Gödel”.] [Abbiamo sempre insegnato ai nostri studenti di Storia delle Matematiche (denominazione contenente un plurale che non ci piace affatto) che tale disciplina è caratterizzata da un “divenire”, e che da esso non si può prescindere nel determinare la sua didattica.

In una fase iniziale la matematica è “investigazione delle leggi dell’intelletto” (Investigation of the laws of thought è il titolo di una celebre opera di George Boole, 1854), in una successiva diviene «studio di tutte le possibilità di pensiero di una mente infinita» (secondo un’espressione del logico-matematico Gaisi Takeuti, citata da Rudy Rucker, Infinity and the Mind – The Science and Philosophy of the Infinite , Birkhäuser, 1982, Prefazione).]

3 – Sciocchezze filosofiche

Siamo arrivati al momento in cui, grazie all’anti-kantismo di Gauss e dei seguaci da lui ispirati, la questione delle geometrie non-euclidee viene tramutata da scientifica in ideologica. Peccato che il grande matematico non si mostri in genere altrettanto buon filosofo. In una lettera all’astronomo Heinrich Christian Schumacher nel 1844, parla dell’incompetenza matematica dei filosofi a lui contemporanei: «non vi fanno rizzare i capelli sulla testa con le loro definizioni?», e il giudizio negativo si estende anche ai tempi antichi: «Leggete nella storia della filosofia antica quelle che i grandi uomini di quell’epoca, Platone ed altri (escludo Aristotele) davano come spiegazioni».

Il princeps mathematicorum non risparmia peraltro le sue critiche neppure a Kant: «anche con lo stesso Kant le cose non vanno molto meglio; secondo me, la sua distinzione fra proposizioni analitiche e sintetiche è una di quelle cose che cadono nella banalità o sono false». Un capitolo del libro ideale cui stiamo accennando dovrebbe allora essere dedicato a una citazione delle più eclatanti stoltezze che vengono comunemente accompagnate alla presentazione dell’argomento, annoverando tra queste anche critiche superficiali … all’avversario del tipo precedente, tra le quali rimane a nostro parere ineguagliabile quella dal sopravvalutato Bertrand Russell (che si comporta, del resto da “vincitore”, come se certe questioni si potessero risolvere con battute).

Secondo Russell, infatti, la teoria dello spazio di Kant è «il punto di vista d’una persona che vive a Königsberg; non vedo come l’abitante d’una valle alpina potrebbe adottarla» (Storia della filosofia occidentale , 1945). In una nota del nostro “Cattivi maestri”, ovvero, a proposito di un morbus mathematicorum (ma non solo!) recens”, del 2002, ne citavamo un’altra davvero monumentale, partorita da Ernest Nagel e James R. Newman, autori di un fortunato testo divulgativo sul teorema di Gödel (La prova di Gödel , tr. it., Boringhieri, Torino, 1974, p. 17): «per quasi duemila anni gli studiosi hanno creduto, senza il minimo dubbio, che [gli assiomi della geometria] fossero vere proprietà dello spazio fisico» (siffatta divulgazione fa pensare che certi cosiddetti “grandi”, presi a modello da docenti e quindi da studenti, proprio grandi non siano).

Aggiungevamo al tempo: «Ecco liquidata in due parole per esempio tutta la filosofia di Kant, a far credere che nessuno abbia mai saputo apprezzare la distinzione tra “reale” e “pensato”! Del resto, sono proprio i matematici e i fisici “moderni” – nel senso di post 1872, come diremo nella nota successiva – ad alimentare ogni confusione in proposito, ignorando la dialettica feconda tra le due citate “polarità”: i secondi, rinchiudendo le loro teorie in spazi fittizi di simboli e cifre; i primi, chiamando oggi comunemente numeri “reali” quei “numeri” che di “reale” in senso proprio non hanno nulla, e includendo tra essi anche i numeri “irrazionali”, favorendo così in modo subliminale l’opinione che il reale possa essere appunto irrazionale!» [Il riferimento al 1872 diventa qui incomprensibile, ne diremo qualcosa nel prossimo inciso.] Poiché ci siamo, menzioniamo anche alcune altre simili perle da noi raccolte. Secondo Herbert Meschkowski, dopo la scoperta delle geometrie non-euclidee sarebbe «impossibile all’uomo moderno di restare fermo alla concezione spaziale di Platone e di Kant» (Mutamenti nel pensiero matematico , tr.it., Boringhieri, Torino, 1973, p. 87).

Numeri-innamoratiSecondo Carl B. Boyer: «In un certo senso possiamo affermare che la scoperta della geometria non-euclidea inferse un colpo mortale alla filosofia kantiana» (loc. cit., p. 621), affermazione così perentoria che riecheggia nell’introduzione al libro scritta da Lucio Lombardo Radice (p. XXII). Ecco finalmente precisato quello che abbiamo dianzi chiamato “l’avversario”, una concezione filosofica che avrebbe ritardato l’avvento e la diffusione di una tale grande scoperta. Nel noto testo di Evandro Agazzi e Dario Palladino sulle geometrie non euclidee troviamo scritto: «La grande diffusione e l’autorevolezza del kantismo costituirono quindi un ulteriore motivo di difficoltà verso l’accettazione delle geometrie non euclidee come dottrine dotate di dignità scientifica» ( Le geometrie non euclidee e i fondamenti della geometria, EST Mondadori, Milano, 1978, p. 73), un’osservazione ripresa dall’analogo precedente testo di Bonola: «Nel nostro caso l’affermazione della geometria non-euclidea fu ritardata anche da ragioni speciali, quali le difficoltà che offrivano alla lettura le opere russe di Lobacefski, l’oscurità dei nomi dei due rinnovatori, la concezione kantiana dello spazio allora dominante» ( loc. cit. , p. 113).

[Si noti che le due citazioni precedenti, oltre che menzionare il kantismo nel suo (positivo!) ruolo di freno nei confronti di certe “accettazioni”, “affermazioni”, hanno il merito di introdurre nel discorso un particolare storico alquanto rilevante, e cioè che tanta “rivoluzione copernicana” lasciò invece piuttosto freddini i matematici europei per alcuni decenni, fino a che il trionfo dei … non-euclidei non cominciò a consolidarsi, non tanto per un’illuminazione matematica che rese vedenti i fino allora ciechi, quanto per il cambiamento di un … état d’esprit (secondo noi chiaramente etero-diretto).

Fu infatti solo nel 1871 che Felix Klein dette alle stampe l’articolo intitolato “Ueber die sogennante Nicht-Euklidische Geometrie” (Mathematische Annalen, 1871, 4, pp. 573-611) – cui fece seguito l’anno successivo: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen (A. Duchert, Erlangen) – dove si introduceva apertamente il termine “non-euclideo”; Klein proseguì poi negli anni successivi un’instancabile opera di promozione della “nuova” scienza geometrica, fino al punto da poter essere definito « “grande statista” del regno della matematica» (C.B. Boyer, loc. cit., p. 631).

Insomma, siamo proprio ai primordi di quel “riduzionismo” che mirava ad eliminare il duplice fondamento geometrico-aritmetico (spazio-temporale) della matematica, per ricondurre tutto prima al numero, e in seguito … al nulla, puro gioco di segni senza “significato” (il riferimento allo sciagurato nichilismo di Russell non è casuale). Si sta parlando quindi della prima fase del detto riduzionismo, ossia di quella che viene chiamata l’ aritmetizzazione dell’analisi (espressione coniata ancora da Klein nel 1895 – C.B. Boyer, loc. cit., p. 633 ), così descritta da C.B. Boyer « [Il 1872] rappresentò un momento cruciale nello sviluppo della matematica del secolo scorso […] [Hermann Hankel] sosteneva che “la condizione per costruire un’aritmetica universale è una matematica puramente concettuale, sganciata da ogni intuizione”. Abbiamo visto come la rivoluzione della geometria abbia avuto luogo allorché Gauss, Lobacevskij e Bólyai si liberarono dei preconcetti intuitivi concernenti lo spazio.

In maniera abbastanza analoga la completa aritmetizzazione dell’analisi diventò possibile soltanto allorché, come prevedeva Hankel, i matematici si resero conto che i numeri reali andavano concepiti come “strutture concettuali” invece che come grandezze intuitive ereditate dalla geometria euclidea» (loc. cit. , pp. 641-642). La nefasta situazione è perfettamente illustrata anche dalle seguenti parole di Corrado Mangione: «La scoperta delle geometrie non euclidee e il loro diffondersi a cominciare dai grandi lavori di Riemann, Helmoltz e Beltrami attorno al ’68, l’accentuato processo di rigorizzazione dell’analisi con le contemporanee definizioni di numero reale di Weierstrass, Cantor e Dedekind nel ’72, avevano sostanzialmente segnato la fine del più che millenario dominio della geometria sull’intero corpus della matematica: sotto gli urti convergenti delle geometrie non euclidee da un lato e delle definizioni puramente aritmetiche di numero reale dall’altro, l’univocità e necessità dei concetti geometrici diventavano di fatto insostenibili» (“Logica e problema dei fondamenti nella seconda metà dell’Ottocento”, in Ludovico Geymonat, Storia del pensiero filosofico e scientifico , vol. VI, Garzanti, Milano, 1983, pp. 354-355).

Noi qui notiamo solo, per il momento, una particolare sincronia, su cui ritorneremo: Charles Darwin rese pubbliche le sue teorie nel 1859, nell’opera On the Origin of Species by Means of Natural Selection: or the Preservation of Favoured Races in the Struggle for Life, cui si aggiunse presto, a togliere ogni eventuale residuo dubbio se l’uomo stesso venisse incluso nell’argomento, The Descent of Man, and Selection in Relation to Sex, 1871.] Per fortuna, come riferisce il Boyer già menzionato, l’avversario verrà presto definitivamente (?) sconfitto: «L’assetto della geometria elaborato da Hilbert consolidò però una concezione decisamente anti-kantiana di questa disciplina», (loc. cit. , p. 699). In effetti, un errore gigantesco che ha infettato tutti, con la conseguente modifica della didattica della matematica che invece discenderebbe in modo assolutamente naturale dalla filosofia così tanto avversata (e la domanda d’obbligo, ma assai … delicata, diventa: perché? ).

Prima di riportare per intero la confutazione delle precedenti opinioni effettuata dal filosofo e sociologo Georg Simmel nel 1904, ci sembra importante sottolineare alcuni punti.

Il primo, che Platone e Kant vengono spesso in tale contesto correlati, ma non sappiamo con quanta correttezza (condividiamo qui l’opinione di Gauss, vedi sopra: Platone, al contrario del suo discepolo Aristotele, ci sembra appartenere a quel mondo perennemente antico, mitico e superstizioso, in cui l’uso della “ragione” diventa elemento secondario), mentre chissà perché non si fa mai o quasi un collegamento, che apparirebbe invece assai più congruo, tra le idee innate di Cartesio e le intuizioni a priori di Kant, oppure con gli echi leibniziani e pascaliani di tali concezioni, etc., insomma, tutto l’Illuminismo protomoderno, vale a dire l’Illuminismo prima che avvenisse la sua eterogenesi, il fior fiore della filosofia europea. [Nel nostro menzionato Breve profilo…, proponiamo di ripartire la “modernità” in tre fasi ben distinte: una protomoderna, alla quale ci sentiamo di appartenere, una propriamente moderna, e una post-moderna che conduce alle attuali manifeste decadenza e corruzione dell’Occidente, d’onde quel riferimento a una “eterogenesi” dell’Illuminismo, termine ovviamente retrodatato, ma questo è un altro argomento…]

Il secondo, che il continuo riferimento a Kant può generare gravi fraintendimenti presso gli interlocutori meno esperti, come se quella che viene avversata fosse una concezione in un certo senso moderna. Il grande filosofo tedesco offre solo una (perfetta) sistemazione filosofica a una concezione antica quanto la matematica stessa (per non dire quanto l’uomo stesso).

Nel Commento al I Libro degli Elementi di Euclide di Proclo troviamo per esempio: « [i Pitagorici] ben sapevano che tutta la mathesis così chiamata, è una reminiscenza insita nelle anime, non venuta dal di fuori come le immagini delle cose sensibili che s’imprimono nell’immaginazione […] come risvegliata dall’apparire di fatti, e sospinta dall’interno dalla stessa riflessione rivolta in se stessa» (Giardini, Pisa, 1978, p. 57). La riflessione rivolta in se stessa, vale a dire quella cosa che Kant chiama “intuizione pura”, in questo caso un’intuizione dello spazio che è premessa indispensabile per ogni tipo di esperienza sensibile, e non viceversa. Ciò premesso, ecco l’annunciata ottima confutazione effettuata da Simmel dei pregiudizi anti-kantiani dianzi rilevati: «Gli assiomi geometrici sono così poco necessari logicamente come la legge causale; si possono pensare spazi, e quindi geometrie, in cui valgono tutt’altri assiomi che i nostri, come ha mostrato la geometria non euclidea nel secolo dopo Kant.

Ma essi sono incondizionatamente necessari per la nostra esperienza, perché essi solamente la costituiscono. Helmholtz errò quindi completamente nel considerare la possibilità di rappresentarci senza contraddizione spazi nei quali non valgono gli assiomi euclidei come una confutazione del valore universale e necessario di questi, da Kant affermato. Infatti l’apriorità kantiana significa solo universalità e necessità per il mondo della nostra esperienza, una validità non logica, assoluta, ma ristretta alla cerchia del mondo sensibile. Le geometrie antieuclidee varrebbero a confutare l’apriorità dei nostri assiomi solo quando qualcuno fosse riuscito a raccogliere le sue esperienze in uno spazio pseudosferico, o a riunire le sue sensazioni in una forma di spazio nel quale non valesse l’assioma delle parallele» (citato da Piero Martinetti, Kant, Feltrinelli, Milano, 1968, p. 47). Va detto che semmai, contro la filosofia kantiana (ma non sola), si erge ben altro ostacolo che non la banale geometria non-euclidea, e si tratta ovviamente del darwinismo.

E’ solo questo che mette in dubbio la concezione dell’uomo sub specie aeternitatis che accomuna la gran parte del pensiero che precede l’era post-moderna. Infatti, se mutano l’uomo e l’intelletto nel corso dei tempi, ecco che c’è da aspettarsi che mutino anche le forme dell’intuizione pura. Insomma, l’esperienza dello spazio e del tempo di un uomo delle caverne potrebbe essere diversa da quella dell’uomo d’oggi, e diversa ancora da quella di un uomo del futuro, se ci sarà. Questa sì che è un’autentica obiezione, che conduce la discussione su un terreno ancora più minato (a prendersela con il darwinismo c’è da essere subito emarginati come creazionisti , giudeo-cristiani o islamici non evoluti, come se non esistessero altre possibilità di pensiero), ma che poco toglie alle nostre conclusioni, almeno sotto l’aspetto didattico. Si è chiamati infatti ad insegnare la matematica qui e ora, ad esseri umani che hanno in comune con noi un intelletto regolato dalle medesime leggi.

Il presente paragrafo potrebbe considerarsi concluso, ma non ci sembra opportuno passare sotto silenzio un’altra connessione di idee che secondo noi va catalogata nel genere “sciocchezze” del medesimo tipo di cui ci siamo dianzi occupati. La presentiamo attraverso un’affermazione farneticante che abbiamo trovato in rete, e molte simili avremmo potuto citare: «Mandelbrot’s fractal geometry replaces Euclidean geometry which had dominated our mathematical thinking for thousand of years. We now know that Euclidean geometry pertained only to the artificial realities of the first, second and third dimensions. These dimensions are imaginary. Only the fourth dimension is real». (La geometria frattale di Mandelbrot sostituisce la geometria euclidea che aveva dominato il nostro pensiero matematico per migliaia di anni. Ora sappiamo che la geometria euclidea riguardava solo realtà artificiali delle tre dimensioni dello spazio. Queste dimensioni sono immaginarie. Solo la quarta dimensione è reale).

GPeanoE’ chiaro che si sta parlando dei pretesi “collegamenti” tra geometria non-euclidea e relatività (sulla connessione si veda anche la prima delle immagini inserite in fine di paragrafo) , due dei mostri sacri del pensiero scientifico post-moderno (il commento appena riportato ne introduce addirittura un terzo, la “moda” dei frattali, di cui pochi capiscono – e parliamo anche di matematici docenti universitari del tutto a digiuno delle teorie sulla dimensione topologica – ma sono tanto belle quelle figure sullo schermo del PC!).

E’ infatti un altro leitmotiv ricorrente della propaganda modernista (usiamo questo termine comune anche se noi, come accennato, preferiamo parlare di post-moderno), che la relatività avrebbe “dimostrato la falsità della geometria euclidea”, ma ci sarebbe da chiedersi: quale relatività, la ristretta o la generale ? Poi chiedere all’interlocutore: sai di cosa parli ? Quali conferme sperimentali dirette potresti menzionare a favore dell’una o dell’altra ? In quale modo tali evidenze sperimentali metterebbero in crisi il V postulato di Euclide?

E’ chiaro che il dilemma andrebbe meglio enunciato, sotto il profilo “filosofico”, nel modo seguente: se la relatività generale costituisse una descrizione adeguata della “realtà”, allora esisterebbe un netto divario tra l’intuizione descritta da Euclide e la realtà, ovvero verrebbe messa in crisi l’osservazione di Spinoza secondo cui: « ordo et connectio idearum idem est ac ordo et connectio rerum» (Ethica Ordine Geometrico Demonstrata, Parte II, Prop. 7; la prendiamo per ciò che essa significa, o evoca, letteralmente, e non per quello che, secondo alcuni commentatori, intendeva Spinoza, una questione difficile da trattare).

[Alla “verità” delle teorie di Einstein accenna per esempio, fra tanti, il noto matematico Hermann Weyl, quando scrive all’inizio di un suo famoso testo sulla relatività generale, con entusiasmo degno di miglior causa, che: «Einstein’s Theory of Relativity has advanced our ideas of the structure of the cosmos a step further. It is as if a wall which separated us from Truth has collapsed – la teoria della Relatività di Einstein ha fatto compiere un ulteriore passo avanti alle nostre idee sulla struttura del cosmo. E’ come se un muro che ci separava dalla Verità fosse crollato» (Raum-Zeit-Materie Vorlesungen über allgemeine Relativitätstheorie, Springer, Berlin, 1919; Space-Time-Matter, tr. ingl., Dover Pub.ns, New York, 1952).

Bisogna dire per la verità che “Truth” ha sì iniziale maiuscola nel testo citato, ma probabilmente non per responsabilità dell’autore, bensì per un eccessivo entusiasmo da lui trasferitosi al traduttore, tenuto conto che nell’originale tedesco il corrispondente “Wahrheit” è maiuscolo di necessità, come si conviene a tutti i sostantivi nella lingua tedesca.]

[Lo scrivente rammenta che, quando studiava a Cambridge nei primi anni ’70, visiting professor presso il Trinity College, dal momento che era già assistente ordinario del prof. Beniamino Segre a Roma, volle incontrare il noto fisico e teologo John Polkinghorne per discutere di tale questione, esprimergli cioè la propria perplessità dei confronti della concezione giudaico-cristiana di un “Dio” che, pur avendo fatto l’uomo a sua immagine e somiglianza, lo avrebbe dotato di intuizioni spazio-temporali non corrispondenti alla struttura del reale, e chiedergli quindi come potesse risolvere tale contraddizione un uomo di fede quale il suo illustre interlocutore era (lo scienziato era infatti anche sacerdote della Chiesa Anglicana). Polkinghorne gli rispose, per la verità assai acutamente, che il richiedente avrebbe dovuto piuttosto considerare un miracolo, e quindi segno di un intervento divino, il fatto che l’intelletto umano, ancorché dotato di intuizioni limitate, fosse stato capace di elevarsi fino ad intravvedere le autentiche strutture del reale.]

[A tale riguardo ci sovviene un’osservazione analoga, di un collega che sosteneva, poggiandosi ovviamente su determinate fonti su cui sorvoliamo, che la “geometria dell’occhio” umano fosse iperbolica. Sarebbe secondo noi ben singolare una struttura non-euclidea dell’occhio, ed una euclidea dell’intelletto che è chiamato a decifrare le informazioni dall’organo provenienti.] Riletto il paragrafo, ci rendiamo conto che la nostra reazione può sembrare eccessivamente acre (espressa inoltre in termini poco accademici, senza rispettare il principio, caposaldo dell’etica “democratica”, secondo cui tutte le opinioni vanno “rispettate” – invero non proprie tutte, alcune vengono represse anche facendo ricorso alla forza dello stato – dimenticando che non sono tanto le opinioni che dovrebbero essere rispettate, quanto le persone, per esempio non bombardandole solo perché appartengono a una civiltà non affètta dalla rivoluzione scientifica, e dalle sue conseguenze), una reazione ideologica essa stessa, ma qui stiamo appunto trattando di una questione ideologica!

A tale proposito ci piace menzionare il matematico Imre Toth, il quale, pur militando in una parte a noi contraria (per quanto attiene ai “giudizi di valore”), riconosce onestamente che alle radici di certe mode del pensiero che abbiamo definito post-moderno ci sono soprattutto ragioni “extra-scientifiche”, ossia filosofiche, estetiche e … politiche: «Ciò che si chiama la rivoluzione non euclidea fu dunque una rivoluzione nel senso proprio della parola, cioè una rivoluzione di natura politica». [Si veda per esempio l’intervista: “La rivoluzione non euclidea come rivoluzione etico politica”, di cui non siamo riusciti a trovare riferimenti attualmente funzionanti in rete.

I precedenti che conoscevamo appaiono dismessi, a ulteriore conferma di un mondo effimero, caratterizzato dalla assoluta precarietà delle pubblicazioni virtuali. Informiamo che a Toth sono stati dedicati tre pezzi sul sito della rivista Lettera matematica PRISTEM dell’Università Bocconi di Milano. Il primo, un’intervista del 1992 a cura di Romano Gatto, con la collaborazione di Pietro Nastasi. Il secondo, una recensione di Pietro Nastasi apparsa nel marzo 1999. Il terzo, un’altra intervista curata da Liliana Curcio, pubblicata nel N. 45 della rivista (settembre 2002).

Da tale intervista, intitolata “Essere e non essere – Riflessioni sul significato filosofico della conoscenza matematica”, abbiamo estratto l’opinione precedentemente citata.] In un libro, naturalmente, si potrebbero inserire numerosi elementi a conferma delle varie affermazioni. Nella presente minore circostanza basteranno i seguenti due, uno più … incredibile dell’altro, due recensioni che presentiamo con una scansione integrale.

CRISI DELLA RAGIONE

Nuovi modelli nel rapporto tra sapere e attività umane – di Aldo Gargani “La razionalità classica – scrive nel saggio introduttivo Aldo Gargani che ha curato questo libro a più mani – si è presentata per alcune centinaia di anni con i connotati e i titoli di una struttura naturale, necessitante e aprioristica”. La ragione possedeva responsabilità e poteri di illimitata estensione su tutte le possibilità di conoscenza dell’uomo: ogni fenomeno fisico, ogni processo storico poteva essere spiegato logicamente, al di là degli eventi e delle esperienze concrete. A questa perfezione a questo “ordine ideale assoluto che è già predeterminato nelle cose”, a questo programma di “implacabile disciplinamento”, si sono contrapposti storicamente atteggiamenti individuali, scelte intellettuali, nuovi linguaggi, nuove “grammatiche”, che hanno creato la consapevolezza dei procedimenti costruttivi delle forme del nostro sapere, mettendo contemporaneamente in crisi il sistema della razionalità classica: a un ordine logico e inesorabile si è sostituita la vitalità dell’esperienza che distrugge ogni categorizzazione. I saggi raccolti in questo volume – dovuti a studiosi di diverse discipline – mettono a fuoco alcuni momenti della “crisi della razionalità”, delineando il quadro dei nuovi movimenti di pensiero attraverso i quali si compiono le più audaci connessioni tra le forme del sapere e le pratiche della vita: la transazione dall’esercizio della caccia e della divinazione a modelli di spiegazione scientifica, oppure il passaggio da un’organizzazione sociale ed etica di tipo euclideo a quella dominata dal principio della relatività (Dostoevskij e Einstein). La lettura si apre a suggestive avventure, in cui non sono soltanto e specificamente in gioco la filosofia e la metodologia scientifica, l’antropologia o la storiografia, ma si ha che fare con quei problemi in cui gli indirizzi disciplinari specialistici di volta in volta si riorganizzano, mettendo in crisi le concezioni della razionalità dispotica e gettando luce sulle alternative di conoscenza rimaste in ombra.

Ecco qui che gente la quale verosimilmente non sa nulla o quasi dell’argomento (o, meglio, degli argomenti, visto che qui il ruolo anti-euclideo è assegnato alla relatività!), mostra però di saper cogliere benissimo la loro valenza “politica”. Il progresso della ragione, e va da sé dell’intero “Occidente”, starebbe tutto nel “passaggio da un’organizzazione sociale ed etica di tipo euclideo a quella dominata dal principio della relatività”. Insomma, gli “euclidei” come i fascisti sconfitti , per i quali sarebbe auspicabile un’apposita Norimberga (e ci sarebbe da chiedersi: fascisti perché euclidei, o euclidei perché fascisti?), e i non-euclidei come gli alleati liberatori e trionfatori su tanta barbarie. E’ proprio il caso di dire: povero Euclide, e povera matematica! Ecco un’altra analoga perla di altrettanto ignoto recensore.

E ora arriva la fiaba del topologo

Un topologo è un distinto signore che non ha nulla a che fare con i topi. E’ invece un matematico che si occupa di geometria non euclidea, e che studia in particolare di una figura geometrica le proprietà che non cambiano quando la figura stessa viene sottoposta a deformazioni continue. Detto così, sembra una cosa molto difficile, e lo è realmente; ma la topologia può essere raccontata come una fiaba, e recepita quindi anche dai bambini. E’ quanto ha fatto, per due anni, Franco Ghione, ordinario di geometria alla seconda università di Roma, andandola ad insegnare a bambini dai sei ai dodici anni nella scuola elementare organizzata dal Movimento scuola-lavoro nella sede del Convento Occupato (Palazzo Rivaldi) di Roma.

Da questi corsi, Ghione ha tratto occasione per scrivere un libro, rivolto specificamente ai bambini, ma affascinante anche per i grandi, in particolare i maestri e gli educatori. Il pittore Mario Schifano, con sedici illustrazioni originali, ha contribuito alla comprensione della materia. Che è raccontata, dicevamo, come una fiaba. C’è un signore, il signor Tau, che è per l’appunto un topologo. Che come tale, vive in una strana casa, che esternamente somiglia alle case normali; ma dentro è proprio diversa. Ecco è in questa casa che il signor Tau invita i bambini e spiega loro la topologia. In modo così chiaro e divertente che il nastro di Moebius o il teorema di Jordan diventano assolutamente comprensibili, così come la curva di Peano che prende il nome da un grande matematico italiano italiano non euclideo, Giuseppe Peano. Concepito ed organizzato come un grande gioco, l’insegnamento diventa una festa , alla quale Ghione invita tutti i bambini.

Non aggiungiamo particolari commenti per carità di patria, bastano i riferimenti ai topologi come matematici che si occuperebbero di geometria non euclidea, e al “grande matematico italiano non euclideo” Giuseppe Peano. Ribadiamo però che, se si può chiedere perdono a Dio per il recensore perché evidentemente non sa di cosa parla, un po’ di responsabilità deve pure averla il matematico progressista menzionato, che andava ad insegnare certi argomenti rendendoli, non c’è dubbio, facilmente accessibili come “un grande gioco”, “una festa”, ai (poveri) bambini di una scuola elementare organizzata da un “Movimento scuola-lavoro” che aveva la sede in un Convento Occupato.

Questa è stata (o è ancora) l’università italiana, e il pensiero di certa “sinistra progressista”, incapace di uscire dalla proprie contraddizioni (storiche) di base. [Le scansioni provengono da ricordi personali del 1985, fotocopie che furono affisse dallo scrivente – con salaci commenti – alle bacheche dell’Istituto di Matematica dell’Università di Perugia – tramutato oggi in un più progressivo Dipartimento. Tale particolare in qualche senso ci consola, perché sta a dimostrare che l’asprezza della presente nota non è frutto di un acido invecchiamento, e che certe idee erano ben chiare alla nostra mente anche un quarto di secolo fa…]

4 – Una risposta alla domanda fondamentale che nessuno si pone

Giunti a questo punto, il nostro libro “ideale” sarebbe tornato sulla questione strettamente tecnica, presentando una (lunga) lista (in parte riportata in rete) di affermazioni equivalenti (in un senso relativo, cioè in un dato contesto logico) al V postulato di Euclide, e ciò che sarebbe potuto apparire sufficiente per gli scopi di docenti, studenti e lettori interessati a siffatte questioni, non lo sarebbe stato però per noi, in quanto si sarebbe trascurato di porre, e di tentare conseguentemente di rispondere ad essa, la domanda fondamentale: quale potrebbe essere una “giusta” formulazione del V postulato? (ossia, una descrizione maggiormente adeguata all’intuizione dell’oggetto in discussione). Infatti, gli assiomi della geometria vanno a nostro parere considerati delle affermazioni su un oggetto realmente presente nel nostro pensiero (che noi chiamiamo lo spazio ordinario), proprietà di tale oggetto che scegliamo tra quelle che non sembrano potersi derivare (almeno facilmente) da altre, ma la cui evidenza riposa immediatamente sull’intuizione pura ( a priori ) dell’oggetto che si vuole descrivere-studiare.

E’ chiaro che tale interrogativo non può porsi, né tanto meno ad esso tentare di rispondere, il matematico-macchina di Turing, capace solo di dedurre in maniera meccanico-formale da assiomi scelti più o meno a caso (in un “gioco” che può avere talvolta qualche valenza estetica – e non stiamo scherzando, sappiamo per diretta esperienza personale che molti colleghi sanno dire della matematica solo che essa è “bella”, mentre alla matematica come gioco, più o meno “utile”, fanno riferimento in tanti degli attuali contagiati da forme di pensiero palesemente nichiliste), né il matematico di Weyl, autore secondo il quale «Una scienza non può, nella individuazione e definizione del proprio campo di indagine, andare oltre una rappresentazione isomorfa di esso.

In particolare, ogni scienza rimane del tutto indifferente circa l'”essenza” dei propri oggetti» (Filosofia della matematica e delle scienze naturali , tr. it., Boringhieri, Torino, 1967, p. 31) – e si osservi che ovviamente tutto sta qui nell’intendersi sul significato della parola “scienza”! [A proposito di una tale “tentazione” (peraltro assai comoda, come tutte le tentazioni diaboliche), abbiamo sempre portato all’attenzione degli studenti la possibile distinzione tra “logica dell’intelletto” e “logica della ragione” suggerita saggiamente da Federigo Enriques: «Il matematico che nel suo sforzo di astrazione e nel suo desiderio di compiutezza ha purificato la logica discorsiva, si trova condotto a riconoscere che questa logica dell’intelletto postula un giudizio superiore della ragione, che lo porta al di là delle stesse matematiche […]

Distinguere una logica della ragione che supera la semplice logica dell’intelletto non è comune fra i matematici. Il loro amore per ciò che è chiaro e preciso li induce volentieri a concentrare tutta l’attenzione sui criteri meccanici del rigore formale della deduzione o della definizione […] La discussione sulle definizioni mostra in molti casi quale senso logico più largo venga ad assumere il giudizio razionale» ( Le matematiche nella storia e nella cultura, Lezioni pubblicate per cura di Attilio Frajese, Zanichelli, Bologna, 1938, p. 148).] Inviteremo quindi i nostri lettori ad operare una sorta di scelta, ad agire quindi, nel senso letterale del termine, con intelligenza , superando i facili automatismi della logica dell’intelletto, per immergersi nel campo della logica della ragione (che per noi, dualisti cartesiani, significa un’escursione nel regno dello spirito). Bene, dopo tante … chiacchiere veniamo al dunque, illustrando la nostra personale scelta del V postulato, ispirata dalla lettura di quel commento di Nasir-Eddin menzionato nel secondo paragrafo. Diamo prima la “dimostrazione” in parola del postulato euclideo, indi le nostre (ultime) osservazioni (per essere brevi useremo a volte un linguaggio da specialisti, ma il lettore non esperto potrà da esso prescindere senza perdere quasi nulla in fatto di sostanza).

Consideriamo una retta r del piano ordinario, e su di essa fissiamo un punto A. Da A tracciamo la perpendicolare p ad r, e su p fissiamo un punto B (diverso da A). Da B tracciamo la perpendicolare q a p, una retta che sappiamo per certo essere parallela ad r. [Se le due rette r e q si incontrassero, allora la somma dei due angoli costituiti da queste due rette con p dalla parte del piano in cui avviene l’incontro sarebbe minore di due angoli retti, come già aveva rilevato Euclide senza fare ricorso al V postulato (un teorema di quelli che si dicono appartenere alla geometria assoluta).

E’ chiaro che stiamo parlando quindi di sola geometria non-euclidea iperbolica, dove rette parallele esistono comunque, e si tratta soltanto di stabilire quante. Ovvero, escludiamo le cosiddette geometrie ellittiche, nelle quali l’intuizione della retta viene così profondamente modificata da renderle subito scartabili come descrizioni inadeguate dell’intuizione spaziale. Come si sa, infatti, ogni varietà topologica 1-dimensionale (senza bordo), o non è compatta, ed è quindi omeomorfa a un segmento aperto della retta ordinaria, o è compatta, ed è quindi omeomorfa ad una circonferenza. Nelle geometrie ellittiche le rette sono curve del secondo tipo, chiuse e compatte. Se si vuole distinguere per bene, quello della retta “aperta” potrebbe essere un’assioma in più, tra tanti che ci vogliono, della geometria euclidea.] Consideriamo adesso una sola parte della configurazione illustrata, facendo partire da B una semiretta s che formi con p, dalla parte che ci interessa, un angolo alpha minore di un angolo retto. La domanda che echeggia nelle menti di chi si occupa di geometria dai tempi di Euclide è: la semiretta s incontra necessariamente la retta r? (ossia, la retta q è l’unica parallela ad r passante per B?).

“Dimostriamo” adesso che è effettivamente così, ovvero che la nostra intuizione spaziale conduce di necessità a vedere l’esistenza di un punto di intersezione tra s ed r. Analizziamo allo scopo il seguente disegno (dove abbiamo evidenziato gli elementi che ci interessano all’interno di un cerchio, per sottolineare la circostanza che la questione è di natura squisitamente locale; un’osservazione che dedichiamo a quei colleghi che, quando raramente riuscivamo a parlare di tali questioni, rispondevano: ma, chissà, le due semirette si incontrano eventualmente tanto lontano dai punti di partenza, che la mia intuizione non può esserne certa, non può “vedere” nulla).

Euclide5postulato

Nel disegno sono riportati un punto C sulla semiretta s, ed un ulteriore punto D sempre su s, tale però che il segmento CD sia uguale al segmento BC. Sono stati poi indicati con C’ e D’, rispettivamente, le proiezioni perpendicolari di C e di D su p, e tanto ci basta per concludere nel senso voluto. Iterando infatti la traslazione del segmento BC sul segmento CD, è manifesto che ci veniamo a trovare di fronte a una successione di segmenti BC’, C’D’, D’E’, … sulla retta p, e che se facciamo le somme successive di tali segmenti BC’ + C’D’ + D’E’ + … , questa dà per risultato un segmento che a un certo punto supererà sicuramente il segmento inizialmente fissato AB (si sta qui utilizzando evidentemente il postulato detto di Archimede, a quattrino a quattrino si supera lo zecchino).

Se supponiamo per esempio che X sia uno di questi punti su s tale che la relativa somma sia ancora non superiore ad AB, ed Y quello immediatamente seguente, tale quindi che la somma sia superiore ad AB, è chiaro che la perpendicolare per Y’ a p incontra la semiretta s in detto punto Y. Ragionando ancora, la retta r si viene a trovare, nella parte del piano in cui s giace rispetto a p, all’interno del triangolo di vertici ABY, ergo essa dovrà necessariamente incontrare il lato BY del triangolo (e quindi la semiretta s) in qualche punto Z, come volevasi dimostrare.

E’ chiaro che, essendo matematici che argomentano con il senno del poi, sappiamo che questa dimostrazione sta cripticamente introducendo un elemento che deve essere in qualche senso equivalente al postulato che si sta cercando di provare, ed individuare quale elemento è ben facile, sempre con il senno del poi. Nel prendere in esame le successive somme del tipo BC’ + C’D’ + D’E’ + … , per concludere infine nel senso voluto con il postulato di Archimede, dobbiamo assumere che si tratti sempre di quattrini, ossia che i segmenti in questione siano tutti uguali al pari dei loro prototipi BC, CD, DE, … di cui sono le proiezioni, e non vadano invece diminuendo come accade appunto in una geometria iperbolica (in tale ambito la costruzione descritta fornisce una serie limitata, la cui somma è esattamente il segmento AB se, e soltanto se, la semiretta s è asintotica ad r – e quindi è la “prima” parallela che si incontra nel fascio di centro B).

[Nell’affermare ciò, prescindiamo da quello che viene detto oggi “assioma di Pasch”, relativo al comportamento di semirette e lati di un triangolo, per l’appunto uno dei tanti “assiomi” sulla natura topologica dello spazio ordinario che bisogna introdurre per avere una descrizione “completa” dell’oggetto in esame, assai più complessa di quella intravista da Euclide. Si noti qui, volendo, lo scambio non banale dei termini piano e spazio, per non dire retta, e che gli assiomi di Euclide si riferiscono invero alla sola geometria piana, una questione che meriterebbe delle riflessioni a parte.]

Ecco che abbiamo facilmente trovato la formulazione equivalente del V postulato che andavamo cercando, perfettamente corrispondente alla nostra “intuizione”, ovvero capace di spiegare perché il nostro intelletto chiaramente percepisce che la semiretta s deve andare ad incontrare la retta r. Date due rette a e b del piano ordinario (non tra loro perpendicolari), la proiezione perpendicolare dei punti dell’una su quelli dell’altra induce un’analoga corrispondenza dei segmenti dell’una su quelli dell’altra (un “su” puramente linguistico, che non va inteso nel senso tecnico di suriettivo; si sa bene che nelle geometrie non euclidee certe suriettività che ci si aspetterebbe di trovare invece non si verificano).

Essendo tali insiemi di segmenti degli insiemi preordinati, in una relazione primitiva che è essenziale per la costruzione di una teoria della misura (e che abbiamo in precedenza utilizzato quando confrontavamo segmenti diversi; si tratta ovviamente di una combinazione tra l’ordinaria inclusione insiemistica e le traslazioni, mediante le quali si effettua il confronto tra segmenti non contenuti l’uno nell’altro), l’assioma euclideo può essere espresso semplicemente affermando che la corrispondenza in parola è non soltanto una semplice corrispondenza tra insiemi, bensì anche un morfismo d’ordine delle corrispondenti strutture (in parole povere, dal momento che due segmenti sono “uguali” se ciascuno dei due è non superiore all’altro nel detto preordine naturale, ciò implica che a segmenti “uguali” corrispondono segmenti “uguali”, che è quanto ci basta). [Si sta parlando quindi di un morfismo nella categoria dei grafi, ovvero insiemi con una relazione binaria interna (categoria in qualche senso speculare a quella degli insiemi con un’operazione binaria interna, le cosiddette strutture algebriche , entrambe le dette categorie situate “sopra” la categoria degli insiemi).

La “naturale” operazione di confronto tra segmenti (l’intelletto umano ha due “capacità” che sono alla base dell’attività matematica: confrontare insiemi finiti e confrontare segmenti, punti di partenza per calcolare quantità e misurare lunghezze), e si comincia da quelli di una stessa retta, è certamente (oltre che totale, ossia due qualsiasi segmenti si possono sempre confrontare) riflessiva (un segmento non è superiore a se stesso) e transitiva (se un primo segmento non è superiore a un secondo, e questo secondo non è superiore a un terzo, allora pure il primo non è superiore al terzo), non è però antisimmetrica, come le relazioni d’ordine propriamente dette.

Ovvero, un dato segmento può essere non superiore a un altro, allo stesso modo che l’altro può essere non superiore al segmento assegnato. In questo caso è tradizionale dire in geometria che i due segmenti sono uguali, anche se non sono manifestamente lo stesso segmento. In generale, ad ogni relazione di preordine rimane associata una relazione di equivalenza, e il preordine “passa” all’insieme delle classi di equivalenza (l’insieme quoziente), diventandovi una effettiva relazione d’ordine.

escher2Lo scrivente trova piuttosto significativa la circostanza che l’intero calcolo delle probabilità possa a sua volta fondarsi su una primitiva relazione di preordine tra eventi, ovvero, assegnati due eventi, sulla decisione di quale dei due sia “meno probabile” dell’altro (vedi per esempio Giulianella Coletti, Romano Scozzafava: Probabilistic logic in a coherent setting , Kluwer Academic Publishers, London, 2002).] Si potrà obiettare, naturalmente, che qui non c’è nulla di nuovo, e che nella sostanza certe osservazioni si trovano già in Saccheri (il quale del resto aveva letto anche lui Nasir-Eddin).

In effetti la questione è piuttosto elementare, sicché la minestra, e i suoi ingredienti, sono sempre gli stessi, ma, si osservi, non si tratta soltanto di concludere che, se le proiezioni perpendicolari di segmenti uguali sono ancora uguali allora si è nell’ambito della geometria euclidea, ma anche di comprendere immediatamente il perché , con un ragionamento che secondo noi l’intelletto fa da solo quando riconosce che una semiretta “inclinata” come s andrà prima o poi ad incontrare la retta r.

Confessiamo inoltre che una formulazione dell’assioma delle parallele quale quella che abbiamo presentato, e che vorremmo chiamare postulato di Nasir-Eddin , ci appare veramente suggestiva, sia perché ha a che fare con una relazione assolutamente primitiva, che è alla base di tutti i successivi sviluppi della geometria, sia perché espressa con quel linguaggio categoriale che ci sembra il più adeguato per una descrizione dell’attività matematica dell’intelletto umano, si vedano gli Elementi di Matematica citati in premessa – la teoria dei grafi è esposta nel capitolo terzo.

[Per le connessioni tra la detta struttura naturale di preordine e la teoria della misura di segmenti che prelude all’introduzione dei numeri reali (positivi) si veda per esempio il nostro “Che cos’è la geometria? Un tentativo di … ritorno alle origini, dopo un secolo di nichilismo ontologico”, in: What is Geometry? , G. Sica (ed.), Polimetrica International Scientific Publisher Monza/Italy, 2006. Qui volendo possiamo aggiungere che, se la detta proiezioni perpendicolare è un morfismo d’ordine, come è appunto nella geometria euclidea (che meglio sarebbe chiamare, con termine astorico e impersonale, “geometria intuitiva”) si ha a che fare con una corrispondenza biunivoca tra gli insiemi dei segmenti delle due rette (una “contrazione”, nel senso che l’immagine di un dato segmento è più piccola del segmento iniziale, estendendo il confronto di segmenti dalle rette all’intero piano, facendo uso delle rotazioni).

Questa “passa” ai rispettivi insiemi quoziente rispetto alla relazione di equivalenza indotta dal preordine (due segmenti “uguali” diventano lo stesso oggetto, una classe di equivalenza che può essere detta un segmento astratto). La nuova corrispondenza biunivoca tra segmenti astratti diventa un isomorfismo delle strutture naturali di semigruppo abeliano (additivo, ordinato) che tali insiemi possiedono. Inoltre, se si fissa un’unità di misura, in modo tale che si possono definire due nuovi isomorfismi tra i semigruppi abeliani in parola e l’analogo semigruppo additivo dei numeri reali positivi, si ha a che fare in definitiva con un automorfismo di tale semigruppo, che è semplicemente l’omotetia di rapporto uguale al coseno dell’angolo acuto formato dalle due rette.]

Potremmo naturalmente dire di più, ma ci sembra che tanto basti nei limiti di un’esposizione sintetica, più che sufficiente per (forse irritare) chi già sa di certe questioni, e speriamo ispiratrice per altri che debbono ancora saperle. [Ci sembra doveroso sottolineare che noi certe cose le conoscevamo già abbastanza, ma alle precedenti conclusioni non saremmo arrivati da soli, se non avessimo avuto la fortunata opportunità di insegnare per tanti anni Storia delle Matematiche, e di esserci imbattuti di conseguenza nel commento di Nasir-Eddin.]

Per quanto ci riguarda personalmente, siamo soddisfatti dall’aver compreso che la questione delle parallele va risolta introducendo un assioma di natura metrica (anche se parla di preordine, l’assioma dianzi prescelto non è di quelli che vengono detti assiomi dell’ordinamento : in altre parole, afferma la “commutatività” delle proiezioni ortogonali con le congruenze), e non uno da inserire in un’apposita famiglia a parte. Si parva licet componere magnis, Hilbert per esempio suddivide gli assiomi della sua geometria in cinque gruppi, inserendo quello in discussione da solo nel quarto gruppo (gli assiomi di congruenza stanno invece nel terzo, quelli dell’ordinamento nel secondo).    In sede ormai di congedo, vogliamo porre un’altra domanda, che lasceremo senza risposta: un’intuizione non-euclidea sarebbe ugualmente capace di costruire in maniera naturale i numeri reali? (ovvero una teoria della misura di lunghezze, i numeri reali sono “rapporti” di segmenti astratti della retta ordinaria). CarlBoyer[Nonostante le comode impostazioni formalistiche, introdotte una volta che erano già perfettamente noti gli oggetti, siano oggi quelle più utilizzate nella didattica universitaria – non siamo bene al corrente di quale sia la situazione per ciò che concerne l’istruzione inferiore, ma temiamo ancor peggiore – sottolineiamo i rischi di un’usanza diffusa che presenta a principianti dei concetti matematici in maniera indipendente dalla loro origine mentale, che invece i discenti potrebbero facilmente ritrovare … in se stessi.

Tanto per offrire un ulteriore esempio di una situazione disastrosa, nei Nuclei di Ricerca Didattica di Pavia, Pisa, Trieste, ai quali era vicino un noto matematico italiano recentemente scomparso (di cui si parla, anche se non apertamente, nell’Avvertenza a questo sito, a proposito dell’aggettivo “sulfureo” con cui fu qualificato il pensiero dello scrivente), alcuni anni fa si proponeva come assioma sensato per introdurre lo studio della geometria: «Si può stabilire una corrispondenza biunivoca e ordinata fra i punti di una retta e i numeri reali», il che, dal nostro punto di vista, è proprio un mettere il carro davanti ai buoi! Nonostante i roboanti proclami dei “modernisti”, sono i numeri reali che si spiegano con la geometria, non certo viceversa, poveri docenti, e poveri studenti… ]

Articolo curato per Metamorfosi Aliene da Marco Saccenti

Fonte: http://www.cartesio-episteme.net/mat/quinto-postulato.htm

1 risposta

  1. Marco Saccenti

    Mi è sempre rimasto impresso quel paragrafo introduttivo al testo adottato per l’esame di Geometria 1, era riportato un piccolo percorso storico sulla matematica, ove si evidenziava l’esistenza di gruppi di matematici che si opponevano alle dimostrazioni “per assurdo” dei vari teoremi; riporto ad esempio il “teorema dell’unicita’ del limite”, il quale dice che:
    il limite, quando esiste, e’ unico, cioé una funzione non puo’ assumere al limite due valori diversi.(in pratica significa che stringendo l’intervallo, l’intervallo stesso non si suddivide ma resta tutto unito anche quando diventa piccolissimo; cosa d’altra parte necessaria se vogliamo sostituire il concetto di intervallo al concetto di punto) Per dimostrarlo basta ragionare per assurdo: supponiamo che non sia vero il risultato e mostriamo che non e’ vero il teorema.

    Ho sempre pensato che la matematica e la geometria fossero monoliti indiscutibili, ma quel gruppo di matematici dissenzienti mi è sempre rimasto come un boccone mal digerito. Esisteva quindi la possibilità che la matematica potesse essere anche una sorta di filosofia personale, che nascondeva progetti sociali o politici.
    Del resto anche il Prof. Bartocci, ha inserito le “allegre visioni” di Boyer, tanto amabilmente condivise da Lucio Lombardo Radice, tra le “sciocchezze filosofiche”, della geometria non euclidea.
    Che la scienza, fosse diventata un fondamento del potere, mi era apparso in tutta la propria dirompente validità, con la lettura (1989) del libro di Giuseppe Sermonti e Roberto Fondi “Dopo Darwin. Critica all’evoluzionis mo” (Rusconi Editore), a cui seguirono “Il Big Bang non c’è mai stato” di Eric J. Lerner (Edizioni Dedalo), e il libro del Prof. Bartocci “Albert Einstein e Olinto de Pretto – La vera storia della formula più famosa del mondo” (Arianna Editrice).
    Ora grazie al Prof. Bartocci con questo articolo abbiamo la possibilità di constatare come anche la più incontestabile delle discipline umane, possa in alcuni casi diventare una sorta di “filosofia personale”, per finalità che cercano di virtualizzare la realtà, ad uso e consumo del potere.

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